Soal komposisi fungsi dan invers fungsi

NAMA:Syahrul Kurniawan

Kelas  : XIPS2/34

Contoh soal komposisi fungsi dan invers fungsi

1. Diketahui fungsi f(x) = 6x - 3, g(x) = 5x + 4 dan 

(f o g)(a) = 81. Nilai a = ....

PENYELESAIANNYA:

(f o g)(x) = f(5x+4)

= 6(5x + 4) - 3

= 30x + 21

(f o g)(a) = 30a + 21 = 81

a = 21

2. Jika diketahui, (f o g)(x) = 6x + 3 dan f(x) = 2x - 3. 

Tentukanlah g(x)!

PENYELESAIANNYA:

(f o g)(x) = 6x + 3

f(g(x))     = 6x + 3

2f(x) - 3   = 6x + 3

2g(x)       = 6x + 6

g(x)         = 3x + 3 

Jadi, g(x) = 3x + 3

3. Jika (f o g)(x) = 6x – 3 dan f(x) = 2x + 5 maka g(x) =

PENYELESAIANNYA:

(f o g) (x) = f(g(x)) = 6x – 3

sehingga x pada f(x) diganti g(x) :

2g(x) + 5 = 6x - 3 

2g(x) = 6x – 3 – 5 = 6x – 8

g(x) = (6x – 8)/2 = 3x – 4

4. Jika (f o g)(x) – x² – 4 dan g(x) – x + 3, maka f(x) =

PENYELESAIANNYA:

Tentukan terlebih dahulu invers g(x) : 

g(x) = x + 3 maka x = g(x) – 3

Subtitusikan x ke dalam (f o g)(x) = f(x)

f(x) – (g(x) – 3)² – 4

f(x) – g(x)² – 6g(x) + 9 – 4 – g(x)² – 6g(x) + 5

Ganti g(x) dengan x :

f(x) – x² – 6x + 5

5. Jika diketahui f (x) – 3x + 4 – 3x berapa nilai dari (f o g)(2)?

PENYELESAIANNYA:

(f o g) (x) = f (g(x)) 

= 3 (3x) + 4 

= 9x + 4 

(f o g)(2) – 9(2) + 4 

–22

y – x² – 2x + 1y – (x – 1)2x – 1

= {y}x – {y} + 1f – 1(x) 

= {x} + 1f – 1(4)

= {4} + 1 = 2 + 1= 3

6. Tentukan f⁻¹(x) dari f(x) = eˣ⁺⁷!

Jawab

Kita gunakan rumus fungsi invers pada baris ke-5 tabel
f(x) = eˣ⁺⁷

ᵉlog f(x) = x + 7

x = ᵉlog f(x) – 7
(karena ᵉlog x = ln X)

f⁻¹(x) = ln x – 7

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

 

Nama:Syahrul Kurniawan

Kelas  : XIPS2/34

Fungsi Komposisi

Seperti yang tela disebutkan di atas, fungsi komposisi merupakan suatu penggabungan dari suatu operasi dua jenis fungsi f(x) dan juga g(x) sehingga mampu menghasilkan suatu fungsi baru.

Adapun rumus untuk fungsi komposisi, yaitu:

Rumus Fungsi Komposisi

Sperti yang terdapat pada uraian di atas, operasi untuk fungsi komposisi tersebut biasa dinotasikan dengan penggunakan huruf atau simbol “o”.

Di mana simbol tersebut bisa kita baca sebagai komposisi ataupun bundaran. Fungsi baru inilah yang bisa terbentuk dari f(x) dan g(x) yaitu:

1. (f o g)(x) yang berarti g dimasukkan ke f

2. (g o f)(x) yang berarti f dimasukkan ke g

Fungsi tunggal merupakan suatu fungsi yang dapat dinotasikan dengan penggunakan huruf “f o g” atau dapat dibaca “f bundaran g”.

Lalu Fungsi (f o g) (x) = f (g (x)) → fungsi g (x) dikomposisikan sebagai fungsi f (x)

Sementara itu, “g o f” dibaca sebagai fungsi g bundaran f. Sehingga, “g o f” merupakan fungsi f yang diselesaikan terlebih dahulu dari fungsi g.

Agar dapat memahami fungsi ini, perhatikan gambar dibawah ini :

Dari skema rumus di atas, dapat kita ketahui bahawa:

Apabila f : A → B ditentukan dengan menggunakan rumus y = f(x)

Apabila g : B → C ditentukan dengan menggunakan rumus y = g(x)

Sehingga, akan kita peroleh hasil fungsi g dan f yaitu:

h(x) = (gof)(x) = g( f(x))

Dari definisi di atas maka bisa kita simpulkan jika fungsi yang melibatkan fungsi f dan g bisa kita tulis seperti berikut ini:

• (g o f)(x) = g(f(x))
• (f o g)(x) = f(g(x))

Sifat Sifat Fungsi Komposisi

Berikut akan kami berikan beberapa sifat dari fungsi komposisi, diantaranya adalah sebagai berikut:

Apabila f : A → B , g : B → C , h : C → D, maka akan berlaku beberapa sifat seperti:

1. (f o g)(x)≠(g o f)(x). Tidak berlaku sifat komutatif.
2. [f o (g o h)(x)] = [(f o g ) o h (x)]. Akan bersifat asosiatif.
3.  Apabila fungsi identitas I(x), maka akan berlaku (f o l)(x) = (l o f)(x) = f(x).

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Untuk memahami uraian di atas, berikut akan kami berikan contoh soal untuk fungsi komposisi yang sederhana, perhatikan baik-baik ya.

Soal 1.

Jika diketahui f (x) = 3x + 4 dan g (x) = 3x berapa nilai dari (f o g) (2)?

Jawab:

(f o g) (x) = f (g (x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

(f o g) (2) = 9(2) + 4

= 22

Fungsi Invers

Fungsi invers terjadi sebab adanya sebuah fungsi yang dinotasikan dengan f (x) serta memiliki relasi pada setiap himpunan A ke setiap himpunan B.

Sehingga akan menjadi sebuah fungsi invers yang dinotasikan dengan f-1 (x) yang tak lain mempunyai relasi dari himpunan B ke setiap himpunan A.

Sehingga, fungsi invers diperoleah dari f : A → B yang berubah menjadi f-1 B → A sehingga daerah asal atau domain f (x), menjadi daerah kawan atau kodomain menjadi daerah hasil atau range f-1 (x) yakni himpunan A. Begitu pula sebaliknya terjadi pada himpunan B.

Fungsi invers atau yang juga dikenal sebagai fungsi kebalikan adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya.

Sebuah fungsi f mempunyai fungsi invers (kebalikan) f-1 jika f adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Hubungan tersebut bisa dinyatakan seperti berikut:

(f-1)-1 = f

Simplenya, fungsi bijektif berlangsung pada saat jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain.

Tidak terdapat dua atau lebih domain berbeda dipetakan ke kodomain yang sama. Serta pada setiap kodomain mempunyai pasangan di domain. Perhatikan gambar yang ada di bawah ini:

Berdasarkan gambar dari pemetaan di atas, pemetaan pertama menunjukan fungsi bijektif.

Pemetaan kedua bukan merupakan fungsi bijektif sebab pemetaan tersebut hanya berlangsung fungsi pada.

Domain d dan e dipetakan ke anggota kodomain yang sama. Pemetaan ketiga bukan fungsi bijektif sebab pemetaan tersebut hanya berlangsung pada fungsi satu-satu. Kodomain 9 tidak mempunyai pasangan pada anggota domain.

Sebagai contoh, f fungsi yang memetakan x ke y, sehingga bisa kita tulisakan menjadi y = f(x), maka f-1 merupakan fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y).

Misalnya f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f merupakan fungsi yang mengawankan pada masing-masing elemen B dengan tepat satu elemen pada A.

Invers fungsi f juga dinyatakan dengan f-1 seperti di bawah ini:

Terdapat 3 tahapan untuk menentukan fungsi invers, antara lain:

1. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).
2. Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).
3. Ubahlah variabel y dengan x sehingga akan didapatkan rumus fungsi invers f-1(x).

Dalam fungsi invers ada rumus khusus seperti berikut ini:

Fungsi Invers

1. f-1 (x) adalah invers dari fungsi f(x)

2. Menentukan fungsi invers : mengganti f (x)= y = …” menjadi “ f -1 (y)= x = …”

3. hubungan sifat fungsi invers dengan fungsi komposisi:

1. (f ◦ f-1)(x)= (f -1 ◦ f)(x)= l (x)
2. (f ◦ g)-1 (x)= (g-1 ◦ f-1)(x)
3. (f ◦ g)(x)= h (x)→ f (x)= (h ◦ g -1)(x)

Contoh Soal Fungsi Invers

Untuk memahami uraian di atas, berikut akan kami berikan contoh soal untuk fungsi komposisi yang sederhana, perhatikan baik-baik ya.

Soal 1.

Jika diketahui suatu fungsi f (x) = 5x +20, hitunglah fungsi invers f-1 (x)!

Jawab:

Jika fungsi f (x) dinyatakan dalam bentuk y sama dengan fungsi x → f (x) = y, maka:

f (x) = 5x + 20 → y = 5x + 20

Kemudian, merubah x menjadi f-1 (y), sehingga akan kita dapatkan:

y = 5x + 20

5x = y – 20

x = (y – 20)/5

x = y/5 – 4

f-1 (y) = y/5 – 4

f-1 (x) = x/5 – 4 → sehingga kita dapatkan fungsi invers dari f (x) = 5x + 20

Persamaan dan pertidaksamaan rasional

Nama: Syahrul kurniawan

Kelas : XIPS2/34

Persamaan rasional didefinisikan sebagai persamaan suatu pecahan dengan satu atau lebih variabel (x) pada pembilang atau penyebutnya. Sedangkan pertidaksamaan rasional adalah persamaan pecahan dengan notasi kurang dari, lebih dari, kurang dari sama dengan dan lebih dari sama dengan

Contoh Persamaan rasional

Nilai x yang memenuhi persamaan adalah ... (x ^ 2 - 9x)/(x + 3) = 36/(x + 3)

Penyelesaian:

(x ^ 2 - 9x)/(x + 3) = 36/(x + 3)

(x ^ 2 - 9x)/(x + 3) - 36/(x + 3) = 0

(x ^ 2 - 9x - 36)/(x + 3) = 0

(x - 12) (x + 3)

x + 3 = 0

Syarat:

x +3=0⇒x=-3

Solusi:

x − 12 = 0 ⇒ x = 12 (memenuhi syarat)

x+3=0⇒ x = −3 (tidak memenuhi syarat). HP = {12}

Nilai x yang memenuhi persamaan adalah ...

 4 x -5 = x - 2

    x           

Penyelesaian:

4x - 5  = x - 2

     x

4x - 5 - (x − 2) = 0

     x           x

4x - 5 - x(x - 2) - 0 

     x            x

4x - 5 - x² - 2x = 0 

     x          x             

-x² + 6x - 5 = 0

         X

x² - 6x + 5 = 0

         X

(x − 1)(x – 5)

          X            = 0

Syarat:

X = 0

Solusi:

x-1=0⇒x= 1 (memenuhi syarat)

5=0⇒x= 5 (memenuhi syarat) HP = {1,5}

Pertidaksamaan rasional

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 

x2 – 4x + 4

x + 1

 ≺ 0

Penyelesaian soal

Pembilang pada soal diatas kita faktorkan sehingga bentuk soal menjadi:

(x – 2) (x – 2)

x + 1

Syarat yang berlaku pertidaksamaan diatas adalah adalah x + 1 ≠ 0 atau x ≠ -1.

Selanjutnya kita tentukan pembuat nol sebagai berikut:

• (x – 2) (x – 2) = 0 maka diperoleh x = 2.
• x + 1 = 0 maka x = – 1

Selanjutnya kita buat garis bilangan sebagai berikut:

• Untuk x > 2 kita ambil angka 3 lalu subtitusi ke x2 – 4x + 4/x + 1 maka diperoleh 32 – 4 . 3 + 4/3 + 1 = + 1/4. Jadi tanda garis bilangan setelah 2 adalah positif.
• Untuk interval -1 < x < 2 kita angka nol lalu subtitusi seperti poin diatas sehingga didapat 02 – 4 . 0 + 4/0 + 1) = + 4. Jadi tanda garis bilangan diantara – 1 hingga 2 adalah negatif.
• Untuk interval x < -1 kita ambil angka -2 lalu subtitusi seperti 2 poin diatas maka hasilnya – 8. Jadi tanda garis bilangan sebelum -1 adalah negatif.

Soal Persamaan dan Pertidaksamaan rasional

Nama: Syahrul Kurniawan

Kelas  : XIPS2/34

Contoh soal persamaan rasional

Contoh soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi X-1 2 3x 4 persamaan rasional = 0

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita gunakan metode pindah ruas dan kali silang. Ketika memindahkan angka atau variabel dari satu ruas ke ruas lainnya kita ganda negatif menjadi positif atau sebaliknya. Jadi jawaban soal diatas sebagai berikut:

X - 1 = 3x

   2        4

→ 4(x - 1) = 2.3x

→ 4x - 4 = 6x 

→ 4x - 6x = 4

→ -2x = 4

→ x = -4 X = -2

             2

Contoh soal Pertidaksamaan rasional

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional dari 

x – 4

x – 1

 ≥ 0

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu syarat pertidaksamaan yaitu x – 1 ≠ 0 atau x ≠ 1.

Selanjutnya kita buat pembuat nol sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

x – 4 = 0 maka x = 4

x – 1 = 0 maka x = 1

Kemudian kita buat garis bilangan sebagai berikut:

Untuk menentukan tanda + atau – pada garis bilangan diatas kita ambil satu angka yang lebih kecil dari 1 (misalkan 0). Angka 0 kita subtitusi ke (x – 4)/(x – 1) maka didapat (0 – 4)/(0 – 1) = + 4. Jadi tanda garis bilangan di sebelah kiri 1 adalah + lalu kita buat selang seling untuk tanda garis bilangan selanjutnya.

Karena notasi pertidaksamaan lebih dari sama dengan maka himpunan penyelesaian (x – 4)/(x – 1) terletak pada garis bilangan bertanda + atau pada interval x < 1 atau x ≥ 4.

Contoh soal Persamaan Irasional 

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1   = x – 3

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal 1 kita tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu:

• x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.
• x – 3 ≥0 atau x ≥ 3.

Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3.

Selanjutnya kita hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini:

• ( √ x – 1 )2 = (x – 3)2
• (x – 1) = x2 – 6x + 9
• x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0
• x2 – 7x + 10 = 0
• (x – 2) (x – 5) = 0
• x = 2 atau x = 5

Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5.

Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1:

• √ x – 1 = x – 3
• √ 5 – 1 = 5 – 3
• √ 4 = 2
• 2 = 2

Kita lihat jawabannya sesuai.

Jika x = 2 kita subtitusi ke persamaan maka hasilnya sebagai berikut:

• √ 2 – 1 = 2 – 3
• 1 = – 1.

Kita lihat hasilnya tidak sesuai.

Contoh soal pertidaksamaan irasional

Contoh soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 5   < 2.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu syarat agar pertidaksamaan irasional berlaku yaitu:

• x – 5 ≥ 0
• x ≥ 5

Selanjutnya kita kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan irasional sehingga didapat:

• (√ x – 5 )2 < 22.
• x – 5 < 4
• x < 4 + 5 atau x < 9

Lalu kita buat garis bilangan untuk menentukan irisan antara syarat x ≥ 5 dan x < 9.

Irisan pertidaksamaan irasional nomor 1

Berdasarkan gambar diatas maka himpunan pertidaksamaan irasional nomor 1 adalah 5 ≤ x < 9.

Persamaan dan pertidaksamaan irasional

Nama:Syahrul kurniawan

Kelas  :  XIPS2/34

A. Definisi Persamaan Irasional

Persamaan irasional adalah persamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar dan tidak dapat ditarik keluar tanda akar. Untuk semesta bilangan real, persamaan irasional terdefinisi jika komponen yang memuat variabel di bawah tanda akar bernilai lebih dari atau sama dengan nol.

B. Menentukan Penyelesaian Persamaan Irasional

Langkah-langkah menyelesaikan persamaan irasional secara umum adalah sebagai berikut:

Syarat terdefinisi yaitu di bawah tanda akar ≥0.

Solusi (kuadratkan kedua ruas).

Tuliskan himpunan penyelesaian (HP).

Berikut ini beberapa bentuk umum persamaan irasional dan cara menyelesaikannya.

a) Bentuk √f(x) = c dengan c> 0 dan syarat

f(x) > 0.

Contoh 1.

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

√x + 2 = 5. Penyelesaian:

√x+2=5 ⇒

1) Syarat:

f(x) > 0

x + 220

x>-2

2) Solusi (kuadratkan kedua ruas)

√x + 2 = 5

x+2=5²

x + 2 = 25

x = 23 (memenuhi syarat)

3) HP = {23}

b) Bentuk √ f(x) = √g(x) dengan syarat f(x) ≥0ng(x) ≥ 0.

C. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Irasional

Pengertian pertidak samaan irasional

Pertidaksamaan irasional atau pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang memuat fungsi irasional atau bentuk akar.

Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan irasional secara umum adalah sebagai berikut:

1. Syarat terdefinisi yaitu di bawah tanda akar $\ge 0$.
2. Kuadratkan kedua ruas.
3. Tuliskan pada garis bilangan hasil pada langkah 1) dan 2), kemudian arsir daerah irisannya.
4. Tuliskan himpunan penyelesaian (HP) yaitu interval daerah irisan.

Berikut ini beberapa bentuk umum pertidaksamaan irasional dan cara menyelesaikannya.

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

√5 - 2x > 9.

Penyelesaian:

√5-2x > 9 ⇒ f(x) > c

1) f(x) > 0 maka:

5- 2x ≥ 0

-2x ≥ -5

x < 5

      2 

2) √√f(x))² ≥ c² maka:

(√5-2x)² > 9²

5 - 2x > 81

-2x > 76